Mặt ban đầu được định nghĩa là một không gian con của trong không gian Euclide, mà thông thường, những mặt này là các không điểm (tập nghiệm) của các hàm đa thức. Vì vậy, người ta gọi cách định nghĩa mặt này có tính ngoại hàm.

Trong mục trước, một mặt được định nghĩa bởi một không gian topo có tính chất Hausdorff và Euclide địa phương. Không gian topo này không cần xét là một không gian con của một không gian khác. Cách định nghĩa này có tính nội tại, và hiện nay Toán học dùng cách định nghĩa này để thấy rõ cấu trúc topo nội tại của mặt.

Một mặt được định nghĩa nội tại thì không có thêm sự ràng buộc với vai trò là không gian con của một không gian Euclide. Điều này làm cho các mặt được định nghĩa nội tại có vẻ không phải là một mặt với cấu trúc ngoại hàm (được định nghĩa trong không gian Euclide). Tuy nhiên, định lý nhúng Whitney khẳng định rằng mọi mặt đều có thể nhúng đồng phôi vào một không gian Euclide, trong không gian E4: Cách định nghĩa ngoại hàm và nội tại là tương đương với nhau.

Mọi mặt compact có định hướng được hoặc có biên đều có thể nhúng vô E3; mặt khác, một mặt phẳng thực xạ ảnh, compact, không định hướng được và không có biên, thì không thể nhúng vô E3. Mặt Steiner, bao gồm mặt Boy, mặt Roman và cross-cap, là ảnh nhúng chìm của không gian xạ ảnh thực trong E3.

Mỗi cách nhúng mặt vô một không gian khác (nếu có nhiều cách) cho ta một thông tin ngoại hàm khác nhau. Ví dụ, mặt xuyến có thể nhúng vào E3 một cách thông thường (giống chiếc nhẫn) hoặc thắt nút (xem hình). Hai cách nhúng là đồng phôi với nhau, nhưng không tương đương đồng luân.

Ảnh của ánh xạ liên tục, đơn ánh từ R2 vào không gian nhiều chiều Rn được gọi là một mặt tham số. Một mặt tham số không nhất thiết là mặt topo.